Lição 3 Números inteiros - Matemática de Kuina-chan

18 de março de 2026

Kuina-chan

«Matemática da Kuina-chan» A Lição 3 explica os números inteiros, incluindo os números negativos! Supõe-se que você tenha lido a Lição 1.

A Lição 2 provou «

» usando os axiomas dos conjuntos, números naturais e adição. No entanto, mesmo sem trazer esses axiomas, estamos convencidos de que «

». Portanto, pararemos de provar coisas como «

$\times$

» e «

» como na lição anterior, aceitando que podem ser provadas se quisermos, e focaremos de agora em diante em «coisas que não temos certeza se são verdadeiras».

1.Números Inteiros

Na Lição 2, expressamos os números naturais como o conjunto « $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ », mas se incluirmos números com um sinal de menos anexado (exceto

), nós os chamamos de «números inteiros». Isto é, se o conjunto de todos os inteiros for $\mathbb{Z}$ , então « $\mathbb{Z}$

$\{$ $\dots$

$\dots$ $\}$ ».

Os números maiores que

são chamados de números «positivos», e os números menores que

são chamados de números «negativos».

não é nenhum dos dois.

Como você sabe, para quaisquer dois inteiros

, podemos realizar a adição «

», a subtração «

», e a multiplicação «

$\times$

». «

$\times$

» às vezes é escrito como « $\cdot$ », ou muitas vezes o símbolo de multiplicação é omitido e escrito «». Neste artigo, escreveremos assim a partir de agora.

1.1Exponenciação

Para um inteiro

e um inteiro

maior ou igual a

, « multiplicado vezes» é escrito « $^{b}$ » e é chamado de «exponenciação». Por exemplo, «

$^{3}$ » é «

$\cdot$

», que é

. «

$^{4}$ » é «

$\cdot$

», que é

No entanto, para qualquer número

que não seja

, definimos «

$^{0}$

». Por exemplo, «

$^{0}$

» e «

$^{0}$

».

Nota

Se você olhar para «2⁵ = 32», «2⁴ = 16», «2³ = 8», «2² = 4», «2¹ = 2», o resultado é reduzido à metade a cada vez, então você pode ver que é natural pensar «2⁰ = 1».

$^{0}$ » às vezes é definido como «

» por conveniência, mas por várias razões, é frequentemente deixado indefinido.

Nota

Uma razão pela qual «0⁰» é geralmente indefinido é que olhar para «3⁰ = 1», «2⁰ = 1», «1⁰ = 1» torna natural pensar «0⁰ = 1», mas olhar para «0³ = 0», «0² = 0», «0¹ = 0» torna natural pensar «0⁰ = 0», levando a uma contradição.

As seguintes leis aplicam-se à exponenciação.

(1) é claro porque multiplicar «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

vezes)» e «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

vezes)» resulta em «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

vezes no total)».

(2) envolve divisão, o que reduz o número de

s, então a contagem de

s torna-se uma subtração.

(3) significa que «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

vezes)» é ele mesmo repetido

vezes, resultando em «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

$\cdot$

vezes)».

(4) significa «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

$\cdot$

(

vezes cada para

)», então reorganizar a ordem resulta em «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

vezes cada para

)».

1.2Valor Absoluto

A distância de um inteiro

é chamada de «valor absoluto» de

, denotada como «». Por exemplo, o valor absoluto de

é «

», e o valor absoluto de

é «

».

O valor absoluto pode ser visto como «deixar os números positivos como estão, e remover o sinal de menos dos números negativos».

Mais estritamente definido, é o seguinte:

Por exemplo, se

, como

, então

2.Propriedades dos Inteiros

Agora, vamos explicar várias propriedades dos inteiros.

2.1Quociente e Resto

A divisão de dois inteiros (

) pode resultar num valor que não é um inteiro. Portanto, definimos «quociente» e «resto» onde os resultados do cálculo permanecem inteiros.

Ao realizar «

», o «quociente» é o número de objetos por pessoa quando objetos são distribuídos entre pessoas. O «resto» é o número de objetos restantes que não puderam ser distribuídos. Por exemplo, para «

», o quociente é

e o resto é

«O quociente de

sendo

e o resto

» significa «quando objetos são distribuídos entre pessoas, cada um recebe objetos e resta objeto», o que pode ser reformulado como «há pessoas com objetos cada, e combinando com o objeto restante, isso faz objetos». Isso pode ser escrito como «

$\cdot$

». Em outras palavras, «quociente e resto de » são definidos como números que satisfazem « $\cdot$ ».

Por exemplo, considerando «

», o quociente é

e o resto é

. Substituindo

por

, o quociente

por

, e o resto

por

na equação acima, obtém-se « $\cdot$ e

$\leq$

», o que de fato satisfaz a expressão matemática.

Na expressão acima, o quociente e o resto quando

são indefinidos. Isto é, «

», etc., são indefinidos.

2.2Divisibilidade, Divisores e Múltiplos

Se o resto de é , dizemos que «

divide

» (ou

é divisível por

). Por exemplo, «

» tem um resto de

, então

divide

. Também, «

» tem um resto de

, então

divide

Quando

divide

é chamado de «divisor» de

, e

é chamado de «múltiplo» de

. Por exemplo, como

divide

é um divisor de

, e

é um múltiplo de

Listar os divisores de

por ordem crescente dá «

». Os múltiplos de

são « $\dots$

$\dots$ », que é o conjunto de todos os números pares.

Como

dividem todos os inteiros, os múltiplos de

são todos os inteiros. Todos os inteiros exceto

dividem

, então os divisores de

são todos os inteiros exceto

2.3Divisores Comuns e Múltiplos Comuns

Agora vamos considerar divisores comuns e múltiplos comuns de dois ou mais inteiros.

Um divisor comum a

é chamado de «divisor comum» de

. Em outras palavras, se

divide

, o inteiro

é chamado de «divisor comum» de

. Por exemplo,

divide

, então

é um dos divisores comuns de

Um múltiplo comum a

é chamado de «múltiplo comum» de

. Em outras palavras, se

divide

, o inteiro

é chamado de «múltiplo comum» de

. Por exemplo,

divide

, então

é um dos múltiplos comuns de

Para três ou mais números, divisores comuns e múltiplos comuns podem ser definidos de forma semelhante.

2.4Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum

O maior dos divisores comuns de

é chamado de «máximo divisor comum» de

, muitas vezes denotado como « $\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$

». O menor dos múltiplos comuns positivos de

é chamado de «mínimo múltiplo comum» de

, muitas vezes denotado como « $\rm{m}$ $\rm{m}$ $\rm{c}$

».

Nota

mdc significa «máximo divisor comum», e mmc significa «mínimo múltiplo comum».

Por exemplo, os divisores de

são «

», e os divisores de

são «

». Os divisores comuns de

são os «

» partilhados, e o máximo divisor comum é o maior entre eles, então $\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$

Também, os múltiplos positivos de

são «

$\dots$ », e os múltiplos positivos de

são «

$\dots$ ». Os múltiplos comuns positivos de

são os «

$\dots$ » partilhados, e o mínimo múltiplo comum é o menor entre eles, então $\rm{m}$ $\rm{m}$ $\rm{c}$

Para inteiros positivos

, existe uma lei que diz « $\cdot$ $\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$ $\cdot$ $\rm{m}$ $\rm{m}$ $\rm{c}$ ». Por exemplo, como « $\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$

» e « $\rm{m}$ $\rm{m}$ $\rm{c}$

», substituindo em «

$\cdot$

$\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$

$\cdot$ $\rm{m}$ $\rm{m}$ $\rm{c}$

» obtém-se «

$\cdot$

», resultando em «

», o que é verdadeiro. Usando isso, se você souber o máximo divisor comum ou o mínimo múltiplo comum, pode calcular facilmente o outro.

2.5Algoritmo de Euclides

Encontrar o máximo divisor comum diretamente leva tempo, mas usar o «Algoritmo de Euclides» descrito abaixo torna-o mais rápido.

Por exemplo, encontrar o máximo divisor comum de e usando o Algoritmo de Euclides é como se segue.

Geralmente, repetir a divisão é mais fácil do que listar os divisores comuns, tornando este método conveniente.

3.Números Primos

Um inteiro

maior ou igual a

cujos divisores positivos são apenas e é chamado de «número primo». Por exemplo,

é um número primo porque os seus divisores positivos são apenas

não é um número primo porque tem

como divisor além de

Em outras palavras, um número primo é um inteiro maior ou igual a

que «não pode ser dividido por nenhum inteiro positivo exceto ‘1 e ele mesmo’». Os inteiros maiores ou iguais a

que não são números primos são chamados de «números compostos».

Listar os números primos por ordem crescente dá «

$\dots$ ». Existem infinitos números primos. O aparecimento de números primos parece ser irregular, e a pesquisa para capturar as suas regras continua desde os tempos antigos até ao presente.

Os números primos podem ser obtidos usando um método chamado «Crivo de Eratóstenes». Este método usa o fato de que «entre os inteiros maiores ou iguais a

, aqueles que não são múltiplos de outros números primos são números primos», e é realizado como se segue.

3.1Fatorização em Primos

Todos os inteiros positivos podem ser expressos como um produto de números primos. Por exemplo, «

$\cdot$

», «

$\cdot$

», «

$\cdot$

», etc. Expressar um inteiro positivo como um produto de números primos desta maneira é chamado de «fatorização em primos».

Cada número primo que aparece durante a fatorização em primos é chamado de «fator primo». Por exemplo, como «

$\cdot$

», os fatores primos de

são

Qualquer inteiro positivo pode sempre ser fatorado em primos, e o padrão é limitado a apenas uma maneira se a ordem da multiplicação for ignorada. Por exemplo, usando exponenciação, «

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{1}$

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{0}$

$^{1}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{2}$

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{0}$

$^{1}$ $\dots$ », «

$^{1}$

$^{0}$ $\dots$ ». Esta propriedade é chamada de «Teorema Fundamental da Aritmética» (ou unicidade da fatorização em primos) e é útil para provar outros teoremas.

A razão pela qual

não é incluído nos números primos é que se

fosse incluído, «

$^{0}$

$^{1}$ $\dots$

$^{1}$

$^{1}$ $\dots$

$^{2}$

$^{1}$ $\dots$

$^{3}$

$^{1}$ $\dots$ », e a unicidade da fatorização em primos não se manteria mais.

3.2Primos entre si

Quando dois inteiros

não têm nenhum divisor comum além de

, isto é, quando $\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$

, diz-se que

são «primos entre si». Por exemplo, como $\rm{m}$ $\rm{d}$ $\rm{c}$

são primos entre si.

Dizer que os inteiros positivos

são «primos entre si» é equivalente a dizer que

«não têm fatores primos comuns». Por exemplo, de

$\cdot$

não contêm fatores primos comuns, então podem ser ditos primos entre si.

4.Aritmética Modular

Agora, voltando ao assunto dos restos na divisão, «o resto quando

é dividido por

é », e «o resto quando

é dividido por

é também », então eles correspondem. Isto pode ser dito como «no mundo dos restos quando os inteiros são divididos por ,

é verdadeiro». Quando os restos divididos por

correspondem desta maneira, dizemos « e são congruentes módulo » e escrevemos « $\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ».

Geralmente, para um inteiro positivo

, quando os restos de

correspondem, dizemos « e são congruentes módulo » e escrevemos « $\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ». Quando não correspondem, escrevemos « $\not\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ». Uma expressão escrita desta maneira é chamada de «congruência» (ou aritmética modular).

Por exemplo, «o resto de

dividido por

» é o mesmo que «o resto de

dividido por

», então «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

». Por outro lado, «o resto de

dividido por

» é diferente do «resto de

dividido por

», então «

$\not\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

».

As congruências têm a propriedade de que se mantêm mesmo se o mesmo número for adicionado, subtraído ou multiplicado a ambos os lados.

Por exemplo, como «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

» é verdadeiro, multiplicar ambos os lados por

dá «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

», que também é verdadeiro.

5.Equações Diofantinas

Finalmente, vamos aceitar um desafio específico aplicando as propriedades dos inteiros introduzidas até agora. É um problema chamado «equação diofantina».

Uma «equação» é um problema para encontrar o valor de uma variável que satisfaz uma igualdade, tal como «Encontrar

que satisfaz

». O valor da variável para a qual a igualdade é verdadeira é chamado de «solução» da equação.

Entre as equações, as «equações diofantinas» referem-se àquelas onde a equação tem infinitas soluções (muitas vezes nos reais, mas tipicamente procuramos soluções inteiras). Por exemplo, «Encontrar a combinação de

que satisfaz

». Neste caso, «

» e «

» são soluções.

Desta maneira, as equações diofantinas muitas vezes têm infinitas soluções, mas ao adicionar condições, o número de soluções pode tornar-se finito. Vamos olhar para um problema que pode ser resolvido como um quebra-cabeça usando tais condições.

5.1Problema

Vamos aceitar o seguinte problema específico de equação diofantina.

5.2Método de Resolução

Primeiro, vamos construir a equação diofantina. Seja o inteiro de

dígitos

tendo os dígitos

de cima. Por exemplo, se

, então

. Então

pode ser expresso como

Como inverter resulta em

vezes o número original, forma-se a seguinte equação.

O lado esquerdo é

vezes

, e o lado direito é o número invertido.

Tal como está, esta expressão contém 4 variáveis e é uma equação diofantina com potencialmente muitas soluções, então vamos reduzir as soluções usando várias condições.

5.3Encontrar o valor de a

Primeiro, se

seria de

dígitos ou menos, então deve ser

. Também, se

$\geq$

, multiplicar por

resultaria em

dígitos ou mais, então deve ser

. Isto é, é ou ou .

Aqui, se assumirmos

, a equação torna-se «

$\cdot$

», e o dígito das unidades no lado direito é «1». O lado esquerdo é um inteiro multiplicado por

, mas não há nenhum inteiro que se torne 1 no dígito das unidades quando multiplicado por 4 (deve ser par), então os lados esquerdo e direito nunca correspondem. Em outras palavras, é claro que não existe solução quando

. Portanto, se existe uma solução, é apenas quando .

5.4Encontrar o valor de d

Substituindo

, a equação torna-se «

$\cdot$

». Aqui, o dígito das unidades no lado direito é «

». Que o dígito das unidades de um inteiro multiplicado por

se torne

acontece apenas para «

$\cdot$

» e «

$\cdot$

», então , que é o dígito das unidades de , é ou ou .

, a equação é «

$\cdot$

», mas reorganizando isso dá «

». Substituir qualquer valor de

resulta em

sendo um número negativo, então

$\neq$

. Portanto, se existe uma solução, é apenas quando .

5.5Encontrar os valores de b e c

Substituindo

, a equação torna-se «

$\cdot$

». Transformando isso, obtemos «

». Para que «

» seja um inteiro, tentar valores de

para

mostra que é a única solução.

Substituindo

, obtemos

$\cdot$

, então .

Portanto, de

, obtemos . Calculando

$\cdot$

, obtemos

, confirmando que «multiplicar por

resulta na ordem inversa do número original».

Nesta lição, introduzimos as propriedades básicas dos inteiros. Na próxima vez, explicaremos os «números reais» e as «funções» e os «mapas», que são importantes para manipular esses números!

Lição 3Números inteiros

1.Números Inteiros

1.1Exponenciação

1.2Valor Absoluto

2.Propriedades dos Inteiros

2.1Quociente e Resto

2.2Divisibilidade, Divisores e Múltiplos

2.3Divisores Comuns e Múltiplos Comuns

2.4Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum

2.5Algoritmo de Euclides

3.Números Primos

3.1Fatorização em Primos

3.2Primos entre si

4.Aritmética Modular

5.Equações Diofantinas

5.1Problema

5.2Método de Resolução

5.3Encontrar o valor de a

5.4Encontrar o valor de d

5.5Encontrar os valores de b e c

Lição 3
Números inteiros