17 de março de 2026
Kuina-chan
Matemática da Kuina-chan A Lição 4 explica funções e mapeamentos que conectam números! Assumimos que você leu a Lição 1.
A Lição 3 definiu inteiros “\mathbb{Z}”. Desta vez, explicaremos números racionais “\mathbb{Q}” e números reais “\mathbb{R}”, que são os chamados decimais, bem como funções e mapeamentos.

1.Números Racionais e Números Reais

Até agora lidamos com inteiros, mas a partir de agora, lidaremos com “números racionais” e “números reais” mais detalhados. Estes são o que chamamos de “decimais”.

1.1Números Racionais


Um número que pode ser expresso na forma de uma fração de “inteiro/inteiro” onde o denominador é diferente de 0 é chamado de “número racional”. Por exemplo, “2/3”, “0/1” e “-5/4” são números racionais. O número decimal “3,3333\dots” também é um número racional porque pode ser expresso pela fração “10/3”.
Neste ponto, denotamos o conjunto de todos os números racionais como “\mathbb{Q}”. Ou seja, “\mathbb{Q}=\{2/3semicolon0/1semicolon-5/4semicolon3,3333\dotssemicolon\dots\}”.

1.2Conversão de Decimal para Fração


A propósito, decimais cujos dígitos se repetem como “1,23123123123\dots” podem sempre ser convertidos em frações “inteiro/inteiro”, então são todos números racionais. “0,5” também é um número racional porque se repete como “0,5000\dots”.
O método para converter um número decimal recorrente como “1,23123123123\dots” em uma fração é o seguinte.
Conversão de Decimal para Fração
  • Deixe x=1,23123123123\dots.
  • Multiplique ambos os lados por uma potência de 10 para que um ciclo da parte repetida do decimal apareça à esquerda do ponto decimal. Ou seja, 1000x=123,23123123123\dots.
  • Subtraia a equação original x=1,23123123123\dots desta equação. Ou seja, 999x=1230.
  • Transformando a equação, obtemos x=1230/999=410/333, então 1,23123123123\dots=410/333.
Qualquer número decimal recorrente pode ser convertido em uma fração usando este método.

1.3Números Irracionais


Por outro lado, números decimais não recorrentes são chamados de “números irracionais”. Números irracionais não podem ser expressos como frações “inteiro/inteiro”. Exemplos de números irracionais incluem Pi “3,1415926\dots” e o número que se torna 2 quando elevado ao quadrado, “1,41421356\dots”.
“Números reais” são números racionais e números irracionais juntos. Denotamos o conjunto de todos os números reais como “\mathbb{R}”.
Suplemento

Nesta definição de “números reais”, usamos o termo vago “decimal”, mas pode ser definido mais rigorosamente. Existem várias maneiras de defini-lo, mas, em termos simples, se você alinhar números racionais infinitamente, eles podem se aproximar arbitrariamente de algo. Esse número pode não ser um número racional, e nós o definimos como um número irracional. Números racionais e números irracionais juntos são números reais.

Agora, todos os números naturais estão incluídos em inteiros. Além disso, todos os inteiros estão incluídos em números racionais. Portanto, a relação de inclusão dos números introduzidos até agora é a seguinte.
Relação de Inclusão dos Números Principais

Números naturais \mathbb{N} \subset Inteiros \mathbb{Z} \subset Números racionais \mathbb{Q} \subset Números reais \mathbb{R}

1.4Operações Principais


Para números racionais e números reais, assim como para inteiros, adição “a+b”, subtração “a-b”, multiplicação “a\cdotb”, exponenciação “a^{b}” e valor absoluto “|a|” são definidos para quaisquer dois números asemicolonb. Além disso, para b não igual a 0, a divisão “a/b” também é definida. No entanto, se b for 0, por exemplo “3/0”, é indefinido.
Além disso, a “raiz quadrada” é definida para números reais. A “raiz quadrada de x” é y que satisfaz “x=y^{2}”. Por exemplo, as “raízes quadradas de 9” são os dois números “3semicolon-3” porque “9=3^{2}” e “9=(-3)^{2}” são verdadeiros. Da mesma forma, as “raízes quadradas de 4” são “2semicolon-2”.
Entre as raízes quadradas, aquela que é maior ou igual a 0 é chamada de “raiz quadrada principal” e é representada pelo símbolo “\sqrt{x}”. Ou seja, “\sqrt{9}=3” e “\sqrt{4}=2”.
Estendendo isso, o valor de y satisfazendo “x=y^{n}” é chamado de “enésima raiz de x”. E a enésima raiz de x (onde x é maior ou igual a 0) é expressa como “\sqrt[n]{x}”. Por exemplo, uma vez que “16=2^{4}”, “\sqrt[4]{16}=2”.
Aqui estão alguns valores de raízes quadradas principais.
Valores de Raízes Quadradas Principais
Raiz Quadrada Principal
\sqrt{0}=0
\sqrt{1}=1
\sqrt{2}=1,4142135623\dots
\sqrt{3}=1,7320508075\dots
\sqrt{4}=2
\sqrt{5}=2,2360679774\dots
\sqrt{6}=2,4494897427\dots
\sqrt{7}=2,6457513110\dots
\sqrt{8}=2,8284271247\dots
\sqrt{9}=3
Se traçarmos o gráfico da raiz quadrada principal y=\sqrt{x}, ficará como a figura abaixo. Se x for menor que 0, não há número real que se torne x quando elevado ao quadrado, então \sqrt{x} é indefinido.
Gráfico da Raiz Quadrada Principal
Gráfico da Raiz Quadrada Principal
A propósito, \sqrt{2} é um número irracional. É simples, então vamos provar isso.
Prova de Número Irracional
  • Abaixo, mostramos que se \sqrt{2} fosse um número racional, isso levaria a uma contradição, provando por eliminação que \sqrt{2} é um número irracional.
  • Primeiro, assuma que “\sqrt{2} é um número racional”. Então, pela definição de números racionais e \sqrt{2}>0, ele pode ser expresso como “\sqrt{2}=a/b” usando alguns inteiros positivos asemicolonb.
  • Eleve ambos os lados ao quadrado para obter “2=a^{2}/b^{2}”. Multiplique ambos os lados por b^{2} para obter “2b^{2}=a^{2}”.
  • Como asemicolonb são inteiros positivos, ambos os lados de “2b^{2}=a^{2}” são inteiros positivos, e ambos os lados podem ser fatorados em primos. Se fatorarmos ambos os lados respectivamente, pela unicidade da fatoração em primos, os fatores primos de ambos os lados devem corresponder.
  • Quando asemicolonb são elevados ao quadrado, o número de cada fator primo incluído dobra, então o número de 2s entre os fatores primos de “b^{2}” e “a^{2}” é par respectivamente. Portanto, entre os fatores primos de “2b^{2}=a^{2}”, o número de 2s no lado esquerdo é ímpar, e no lado direito é par, o que não corresponde e é uma contradição.
  • Assim, a proposição “\sqrt{2} é um número racional” é encontrada falsa, então pela lei do terceiro excluído, a proposição “\sqrt{2} não é um número racional” é verdadeira. Ou seja, \sqrt{2} é um número irracional. (Fim da prova)
Dessa forma, o método de prova de “assumir que \negp é verdadeiro para derivar intencionalmente uma contradição, e provar p por eliminação” é chamado de “prova por contradição”.

2.Equações de Grau Superior

2.1Equações Lineares


Vamos tentar resolver equações de números reais. Primeiro é um problema simples abaixo.
Problema de Equação Linear
Problema

Encontre todos os x que satisfazem 2x-3=5.

Uma equação na forma de “ax+b=0 (onde a\neq0)” é chamada de “equação linear”. Uma equação linear pode ser facilmente resolvida apenas somando ou multiplicando o mesmo número em ambos os lados.
Resposta ao Problema de Equação Linear
  • Adicione 3 a ambos os lados de 2x-3=5 para obter 2x=8.
  • Divida ambos os lados de 2x=8 por 2 para obter x=4.
  • Portanto, x satisfazendo 2x-3=5 é 4.

2.2Equações Quadráticas


O seguinte é um problema ligeiramente mais complexo abaixo.
Problema de Equação Quadrática
Problema

Encontre todos os x que satisfazem x^{2}+4x-12=0.

Uma equação na forma de “ax^{2}+bx+c=0 (onde a\neq0)” é chamada de “equação quadrática”. Uma equação quadrática pode ser facilmente resolvida se puder ser transformada na forma “(x+a)(x+b)=0”, então visamos essa forma.
Primeiro, expanda o lado esquerdo da equação “(x+a)(x+b)=0”. Existe uma regra “p(q+r)=pq+pr”, então aplicando isso repetidamente para remover os parênteses, podemos transformá-lo em “(x+a)(x+b)=(x+a)x+(x+a)b=x^{2}+ax+bx+ab=x^{2}+(a+b)x+ab”. Chegamos mais perto da equação do problema.
Comparando isso “x^{2}+(a+b)x+ab=0” com a equação do problema “x^{2}+4x-12=0”, podemos ver que se inserirmos 4 em “a+b” e -12 em “ab”, podemos fazer a mesma equação. Se pensarmos em asemicolonb apropriados tais que “a+b=4” e “ab=-12”, descobrimos que “a=6semicolonb=-2”. Inserindo-os, obtemos “x^{2}+(6+(-2))x+6\cdot(-2)=0”.
Então, a partir dos resultados até agora, descobrimos que a equação do problema “x^{2}+4x-12=0” pode ser transformada em “x^{2}+(6+(-2))x+6\cdot(-2)=0”, e isso pode ser transformado em “(x+6)(x+(-2))=0”. Em outras palavras, em vez da equação do problema, vamos encontrar x que satisfaça “(x+6)(x-2)=0”. Isso significa que multiplicar “x+6” e “x-2” resulta em 0, então pelo menos um deles deve ser 0.
Considerando o caso em que “x+6” é 0, encontramos x=-6. Considerando o caso em que “x-2” é 0, encontramos x=2. Ambos não se tornam 0 simultaneamente. Portanto, estas são todas as soluções. Ou seja, x satisfazendo x^{2}+4x-12=0 é x=-6semicolon2.

2.3Fórmula Quadrática


A propósito, a solução para uma equação quadrática também pode ser resolvida pela seguinte fórmula chamada “fórmula quadrática”.
Fórmula Quadrática
Fórmula Quadrática
De fato, obtivemos as mesmas soluções de antes.

3.Mapeamentos

Finalmente, explicaremos funções e mapeamentos.
Um “mapeamento” é algo que corresponde cada elemento de um determinado conjunto a um elemento de um determinado conjunto, e às vezes é chamado de “função”. Na figura abaixo, o que corresponde à coleção de “setas” conectando os elementos é o mapeamento.
Mapeamento
Mapeamento
Um mapeamento f associando um elemento do conjunto \bm{A} a um elemento do conjunto \bm{B} é expresso como “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”. Também neste momento, o elemento do conjunto \bm{B} correspondente ao elemento a do conjunto \bm{A} é expresso como “f(a)”. Por exemplo, nesta figura, como o elemento b_{2} está associado ao elemento a_{1}, torna-se f(a_{1})=b_{2}.
Quando “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”, para qualquer elemento a do conjunto \bm{A}, existe exatamente um elemento correspondente f(a) no conjunto \bm{B}. Nunca acontece de não haver destino ou múltiplos destinos.
Além disso, um mapeamento pode associar entre o mesmo conjunto. Em outras palavras, pode ser “f:\bm{A}\rightarrow\bm{A}”.
Por exemplo, para o conjunto de todos os números naturais \mathbb{N}, “f(x)=2x” que dobra o elemento x de \mathbb{N} torna-se o mapeamento “f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}”.
Mapeamento de “f(x)=2x”
Mapeamento de “f(x)=2x”

3.1Sobrejeção, Injeção, Bijeção


Em “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”, se os elementos de \bm{A} correspondem a todos os elementos de \bm{B} sem deixar nenhum de fora, f é chamado de “sobrejeção”. Estritamente falando, quando a coleção de f(a) para todos os elementos a do conjunto \bm{A} corresponde ao conjunto \bm{B}, f é uma sobrejeção.
Além disso, quando os elementos de \bm{B} correspondentes a cada elemento de \bm{A} não têm duplicatas, f é chamado de “injeção”. Estritamente falando, para quaisquer dois elementos diferentes asemicolonb de \bm{A}, se f(a) e f(b) forem sempre diferentes, f é uma injeção.
Quando o mapeamento f é tanto sobrejetivo quanto injetivo, f é chamado de “bijeção”. Neste momento, os elementos de \bm{A} e os elementos de \bm{B} correspondem exatamente um para um.
As imagens de sobrejeção, injeção e bijeção estão resumidas na figura abaixo.
Sobrejeção, Injeção, Bijeção
Sobrejeção, Injeção, Bijeção

3.2Mapeamento Inverso


O mapeamento com a direção de correspondência invertida do mapeamento f é chamado de “mapeamento inverso” de f e é expresso como “f^{-}^{1}”. Estritamente falando, embora seja complicado explicar, quando dois mapeamentos “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}” e “g:\bm{B}\rightarrow\bm{A}” satisfazem sempre “g(f(a))=a” para qualquer elemento a de \bm{A} e satisfazem sempre “f(g(b))=b” para qualquer elemento b de \bm{B}, g é o mapeamento inverso de f “g=f^{-}^{1}”.
Por exemplo, se considerarmos o mapeamento “f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}” definido por “f(x)=x+2” e o mapeamento “g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}” definido por “g(x)=x-2”, uma vez que a direção de correspondência é invertida, podemos dizer que g é o mapeamento inverso de f “g=f^{-}^{1}”.
Mapeamento Inverso
Mapeamento Inverso
A propósito, se o mapeamento f não for uma bijeção, o mapeamento inverso não existe para f. Além disso, se f for uma bijeção, o mapeamento inverso f^{-}^{1} de f sempre existe, e há apenas um tipo.
Explicamos números reais e mapeamentos desta vez. Da próxima vez, explicaremos várias figuras como triângulos e círculos!
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