17 de março de 2026
Kuina-chan
Na Lição 1 de “Matemática da Kuina-chan”, explicaremos as regras e convenções da matemática!
1.Axiomas, Teoremas e Demonstrações
Na matemática, em termos gerais, partimos de algumas premissas que são assumidas como corretas e derivamos logicamente coisas que podem ser ditas corretas. Essas premissas corretas predeterminadas são chamadas de “axiomas”.
Além dos axiomas, algumas regras são definidas e, na matemática, usamos axiomas e essas regras para derivar coisas corretas uma após a outra.
As coisas corretas recém-derivadas, juntamente com os axiomas, são chamadas de “teoremas”, e o processo de derivar um teorema é chamado de “demonstração”.
De outra perspectiva, resolver um problema matemático é a tarefa de encontrar uma demonstração de como a resposta ao problema se torna um teorema, usando os teoremas derivados até agora.
2.Proposições e Fórmulas Lógicas
Agora, objetos que podem ser julgados quanto a serem teoremas ou não, como “é 
” e “é 
”, são chamados de “proposições”.
” e “é ”, são chamados de “proposições”.Existem várias maneiras de lidar com proposições, mas aqui, para simplificar, usaremos “Verdadeiro” e “Falso” de fórmulas lógicas para expressar que “uma proposição ser um teorema é ‘Verdadeiro’, e não ser um teorema é ‘Falso’”. Por exemplo, se a proposição “é ” é um teorema, então “é ” é “Verdadeiro”. Se a proposição “é ” não se torna um teorema, então “é ” é “Falso”.
” é um teorema, então “é ” é “Verdadeiro”. Se a proposição “é ” não se torna um teorema, então “é ” é “Falso”.
Suplemento
Fórmulas que lidam com Verdadeiro e Falso dessa maneira são chamadas de “fórmulas lógicas”. Desta vez, decidimos usar o valor de verdade das fórmulas lógicas para expressar se uma proposição é um teorema, mas existem outras maneiras de expressar se uma proposição é um teorema. Por exemplo, uma ideia é considerar uma proposição que é sempre Verdadeira, chamada de “tautologia”, como um teorema.
Neste momento, representaremos as proposições com letras como “
” e “
”. Em seguida, consideramos criar novas proposições combinando-as, como “se então ” e “ e ”.
” e “”. Em seguida, consideramos criar novas proposições combinando-as, como “se então ” e “ e ”.Por exemplo, se é a proposição “é ” e é a proposição “é ”, dizendo “ ou ”, podemos criar a proposição “é , ou, é ”.
é a proposição “é ” e é a proposição “é ”, dizendo “ ou ”, podemos criar a proposição “é , ou, é ”.
Normalmente, “ou” é representado pelo símbolo “
”, e “e” é representado pelo símbolo “
”, escritos como “” e “”. Ou seja, a proposição “é ou é ” pode ser escrita como “
”.
”, e “e” é representado pelo símbolo “”, escritos como “” e “”. Ou seja, a proposição “é ou é ” pode ser escrita como “”.A propósito, “ ou ” significa que é Verdadeiro se ou for Verdadeiro. Por exemplo, se a proposição “é ou é ” é Verdadeira, significa que “” ou “” é Verdadeiro. Em outras palavras, o resultado de “” é como mostrado na tabela a seguir.
ou ” significa que é Verdadeiro se ou for Verdadeiro. Por exemplo, se a proposição “é ou é ” é Verdadeira, significa que “” ou “” é Verdadeiro. Em outras palavras, o resultado de “” é como mostrado na tabela a seguir. |
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| Falso | Falso | Falso |
| Falso | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
Por outro lado, “ e ” significa que é Verdadeiro se tanto quanto forem Verdadeiros. Em outras palavras, o resultado de “” é como mostrado na tabela a seguir.
e ” significa que é Verdadeiro se tanto quanto forem Verdadeiros. Em outras palavras, o resultado de “” é como mostrado na tabela a seguir. |
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|---|---|---|
| Falso | Falso | Falso |
| Falso | Verdadeiro | Falso |
| Verdadeiro | Falso | Falso |
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
Por exemplo, suponha que “” seja Verdadeiro, ou seja, um teorema, e “” seja Falso, ou seja, não seja um teorema. Neste momento, “” se torna “Verdadeiro e Falso”, que é Falso, o que significa que não é um teorema.
” seja Verdadeiro, ou seja, um teorema, e “” seja Falso, ou seja, não seja um teorema. Neste momento, “” se torna “Verdadeiro e Falso”, que é Falso, o que significa que não é um teorema.Suplemento
Para ser preciso, decidimos aqui que se uma proposição criada usando “ou” ou “e” em uma fórmula lógica for Verdadeira, é um teorema. A partir de agora, decidiremos de forma semelhante que o que se torna Verdadeiro em uma fórmula lógica é um teorema.
3.Propriedades das Fórmulas Lógicas
A partir daqui, explicaremos várias propriedades das fórmulas lógicas que são necessárias ao demonstrar teoremas.
3.1Negação, Princípio do Terceiro Excluído e Contradição
Ao expressar uma proposição negativa “não é ” contra a proposição “é ”, usamos o símbolo “
”. Para uma proposição , “não ” é escrito como “”, e o resultado nesse momento é como mostrado na tabela a seguir.
” contra a proposição “é ”, usamos o símbolo “”. Para uma proposição , “não ” é escrito como “”, e o resultado nesse momento é como mostrado na tabela a seguir. |
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|---|---|
| Falso | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso |
A partir desta tabela, podemos ver que para qualquer proposição , ou “” ou “” é Verdadeiro, ou seja, torna-se um teorema. Em outras palavras, não há proposição onde nem “” nem “” seja um teorema. Esta lei de que “não há proposição onde nem nem se torne um teorema” é chamada de “princípio do terceiro excluído”.
, ou “” ou “” é Verdadeiro, ou seja, torna-se um teorema. Em outras palavras, não há proposição onde nem “” nem “” seja um teorema. Esta lei de que “não há proposição onde nem nem se torne um teorema” é chamada de “princípio do terceiro excluído”.Por outro lado, o fato de que “tanto quanto são teoremas” é chamado de “contradição”. A partir desta tabela, também podemos ver que não há proposição que cause uma contradição.
quanto são teoremas” é chamado de “contradição”. A partir desta tabela, também podemos ver que não há proposição que cause uma contradição.Ao combinar o princípio do terceiro excluído e a contradição, também podemos demonstrar sua negação causando intencionalmente uma contradição, como “se assumirmos que é um teorema, ele contradiz, portanto é um teorema”.
é um teorema, ele contradiz, portanto é um teorema”.3.2Implicação Lógica
Como outro símbolo para fórmulas lógicas, há “
” que significa “se então ”. Esta é uma proposição de que “quando se mantém, se mantém”.
” que significa “se então ”. Esta é uma proposição de que “quando se mantém, se mantém”.
O fato de que a proposição “” é um teorema significa que sempre que “ é Verdadeiro”, “ também é Verdadeiro”.
” é um teorema significa que sempre que “ é Verdadeiro”, “ também é Verdadeiro”.Neste momento, quando “ é Falso”, não importa o que seja. Em outras palavras, quando “ é Falso”, não importa o que seja, o fato de que “” é um teorema não é anulado, então neste momento pode-se dizer que “” é Verdadeiro.
é Falso”, não importa o que seja. Em outras palavras, quando “ é Falso”, não importa o que seja, o fato de que “” é um teorema não é anulado, então neste momento pode-se dizer que “” é Verdadeiro.Ou seja, se de “” for Falso, “” é Verdadeiro, quer seja Verdadeiro ou Falso. É como mostrado na tabela a seguir.
de “” for Falso, “” é Verdadeiro, quer seja Verdadeiro ou Falso. É como mostrado na tabela a seguir. |
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| Falso | Falso | Verdadeiro |
| Falso | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso | Falso |
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
Por exemplo, quando há um teorema “se 
, então é um número ímpar”, ele não diz nada sobre o caso em que não é , então se não for , quer seja um número par ou um número ímpar, este teorema não será anulado. Portanto, podemos entender que quando “se Falso, então...”, esta proposição deve ser sempre Verdadeira.
, então é um número ímpar”, ele não diz nada sobre o caso em que não é , então se não for , quer seja um número par ou um número ímpar, este teorema não será anulado. Portanto, podemos entender que quando “se Falso, então...”, esta proposição deve ser sempre Verdadeira.3.3Proposições Equivalentes
Agora, quando os valores de verdade das proposições 
sempre coincidem, diz-se que e são “equivalentes”, e escrevemos “”.
sempre coincidem, diz-se que e são “equivalentes”, e escrevemos “”.Se se torna um teorema quando é um teorema, e se torna um teorema quando é um teorema, pode-se dizer que os valores de verdade de e coincidem, então e são equivalentes. Em outras palavras, escrito como uma fórmula lógica, quando “”, e são equivalentes. Por esta razão, “” às vezes é escrito com o símbolo “
”.
se torna um teorema quando é um teorema, e se torna um teorema quando é um teorema, pode-se dizer que os valores de verdade de e coincidem, então e são equivalentes. Em outras palavras, escrito como uma fórmula lógica, quando “”, e são equivalentes. Por esta razão, “” às vezes é escrito com o símbolo “”.Se e são equivalentes, demonstrar um significa demonstrar o outro também. O resultado de “” é como mostrado na tabela a seguir.
e são equivalentes, demonstrar um significa demonstrar o outro também. O resultado de “” é como mostrado na tabela a seguir. |
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| Falso | Falso | Verdadeiro |
| Falso | Verdadeiro | Falso |
| Verdadeiro | Falso | Falso |
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
3.4Recíproca, Inversa e Contrapositiva
Quando há uma proposição na forma de “”, “” com e invertidos é chamado de proposição “recíproca”. Além disso, “” com negação adicionada a e é chamado de “inversa”, e “” que é tanto recíproca quanto inversa é chamado de “contrapositiva”.
”, “” com e invertidos é chamado de proposição “recíproca”. Além disso, “” com negação adicionada a e é chamado de “inversa”, e “” que é tanto recíproca quanto inversa é chamado de “contrapositiva”.
Entre estas, a contrapositiva é particularmente importante, e a contrapositiva é equivalente à proposição original. Por exemplo, para a proposição “se , então é um número ímpar”, a contrapositiva é “se não é um número ímpar, então não é ”, e essas duas proposições são equivalentes.
, então é um número ímpar”, a contrapositiva é “se não é um número ímpar, então não é ”, e essas duas proposições são equivalentes.Em outras palavras, quando você deseja demonstrar uma proposição, pode demonstrar a proposição original demonstrando a proposição contrapositiva em vez de demonstrar a proposição original.
3.5Leis de De Morgan
Além disso, como uma lei importante, existem as “leis de De Morgan”.
As leis de De Morgan são as leis de que “” e “” são equivalentes, e “” e “” são equivalentes. Para detalhar, é uma lei que quando os parênteses de “
” são removidos, o “” e o “” dentro são trocados, e “” é distribuído.
” e “” são equivalentes, e “” e “” são equivalentes. Para detalhar, é uma lei que quando os parênteses de “” são removidos, o “” e o “” dentro são trocados, e “” é distribuído.Por exemplo, a proposição “não é ‘ é um número par e é 
ou mais’” é o mesmo que dizer “ não é um número par, ou não é ou mais”. Além disso, “não é ‘ é um número par ou é ou mais’” é o mesmo que dizer “ não é um número par, e não é ou mais”.
é um número par e é ou mais’” é o mesmo que dizer “ não é um número par, ou não é ou mais”. Além disso, “não é ‘ é um número par ou é ou mais’” é o mesmo que dizer “ não é um número par, e não é ou mais”.É útil quando você deseja transformar e organizar proposições complexas.
4.Funções Proposicionais
Para lidar com uma variedade maior de teoremas e proposições, vamos nos aprofundar um pouco mais nas fórmulas lógicas.
Algo que se torna uma proposição quando recebe um valor de fora é chamado de “função proposicional”. Por exemplo, para a descrição “é 
”, se você substituir por e 
por , torna-se a proposição “é ”, então “é ” é uma função proposicional.
”, se você substituir por e por , torna-se a proposição “é ”, então “é ” é uma função proposicional.
Além de valores específicos como “” e “”, as funções proposicionais podem assumir coisas como “todos os valores” e “algum valor”. Ao adicionar os símbolos “
” e “
” antes de letras como “
” e “
”, eles representam “todos os valores” e “existe algum valor”, respectivamente.
” e “”, as funções proposicionais podem assumir coisas como “todos os valores” e “algum valor”. Ao adicionar os símbolos “” e “” antes de letras como “” e “”, eles representam “todos os valores” e “existe algum valor”, respectivamente.Por exemplo, se você envolver a função proposicional “é ” com e substituir por e escrevê-la como “é ”, ela representa a proposição “para todos os valores , é ”. Da mesma forma, se você envolvê-la com e substituir por e escrevê-la como “é ”, ela se torna a proposição “existe algum valor tal que é ”.
” com e substituir por e escrevê-la como “é ”, ela representa a proposição “para todos os valores , é ”. Da mesma forma, se você envolvê-la com e substituir por e escrevê-la como “é ”, ela se torna a proposição “existe algum valor tal que é ”.
Como um exemplo específico, suponha que haja uma função proposicional “”, e a proposição “” com substituído por e seja Verdadeira, e a proposição “” com substituído por e por seja Falsa.
”, e a proposição “” com substituído por e seja Verdadeira, e a proposição “” com substituído por e por seja Falsa.Neste momento, porque há “”, “” não se torna Verdadeiro para todos os e . Portanto, “” é Falso. Além disso, porque há “”, existem pelo menos alguns e tais que “” se torna Verdadeiro. Portanto, “” é Verdadeiro.
”, “” não se torna Verdadeiro para todos os e . Portanto, “” é Falso. Além disso, porque há “”, existem pelo menos alguns e tais que “” se torna Verdadeiro. Portanto, “” é Verdadeiro.5.Lógica Intuicionista
Finalmente, apresentarei brevemente uma maneira diferente de pensar chamada “lógica intuicionista”.
Até agora, assumimos o “princípio do terceiro excluído”, que afirma que quando há proposições e , pelo menos uma delas é um teorema, mas a lógica intuicionista não usa esse princípio do terceiro excluído. Em outras palavras, com a lógica até agora, poderíamos dizer “Não sei se você gosta de matemática, mas ou você gosta de matemática ou não gosta”, mas com a lógica intuicionista, não podemos nem dizer isso, e se torna “Eu nem sei se ou você gosta de matemática ou não gosta”. Ela considera a possibilidade de que não saibamos se pode ser demonstrado.
e , pelo menos uma delas é um teorema, mas a lógica intuicionista não usa esse princípio do terceiro excluído. Em outras palavras, com a lógica até agora, poderíamos dizer “Não sei se você gosta de matemática, mas ou você gosta de matemática ou não gosta”, mas com a lógica intuicionista, não podemos nem dizer isso, e se torna “Eu nem sei se ou você gosta de matemática ou não gosta”. Ela considera a possibilidade de que não saibamos se pode ser demonstrado.Se não assumirmos o princípio do terceiro excluído, muitos teoremas não podem ser demonstrados, então a lógica intuicionista não é a corrente principal em muitos campos da matemática, mas é altamente compatível e frequentemente usada em campos que visam a própria lógica e a ciência da computação.
Desta vez, explicamos as regras básicas da matemática. Da próxima vez, vamos realmente demonstrar um teorema a partir de axiomas específicos!
