18 de março de 2026
Kuina-chan
“Matemática da Kuina-chan” Na Lição 2, explicaremos o básico da matemática e o fluxo da prova através de “1+1=2”! Assume-se que você tenha lido a Lição 1.
A Lição 1 explicou as regras básicas da matemática.
Desta vez, vamos provar “1+1=2” a partir de axiomas concretos. Mas antes disso, gostaria de explicar o elemento mais fundamental da matemática, o “Conjunto”. Na matemática, basicamente tudo, começando com números como “1semicolon2semicolon3”, é considerado feito de “Conjuntos”.

1.Teoria ingênua dos conjuntos

1.1Conjuntos e Elementos


Um “Conjunto” é uma “coleção de várias coisas”. “Várias coisas” é vago, mas historicamente, os conjuntos começaram a partir de tal compreensão vaga. Eventualmente, será definido rigorosamente.
Além disso, essas “várias coisas” são chamadas de “Elementos”. E quando um elemento a está dentro de um conjunto \bm{X}, dizemos que o elemento a “pertence ao” conjunto \bm{X} e escrevemos “a\in\bm{X}”.
Conjuntos e Elementos
Conjuntos e Elementos
Nesta figura, o elemento b pertence ao conjunto \bm{X}, então é “b\in\bm{X}”. Por outro lado, o elemento d e o elemento f não pertencem ao conjunto \bm{X}, e nesses casos onde não pertencem, escrevemos “d\notin\bm{X}” e “f\notin\bm{X}”.

1.2Notação por extensão e compreensão


Existem duas maneiras de expressar quais elementos pertencem a um conjunto. Elas são “Notação por extensão” e “Notação por compreensão”.
A “Notação por extensão” é um método de listar os elementos que pertencem ao conjunto. Por exemplo, quando os elementos “Cachorro”, “Gato” e “Coelho” pertencem ao conjunto \bm{X}, na notação por extensão escrevemos “\bm{X}=\{CachorrosemicolonGatosemicolonCoelho\}”.
A “Notação por compreensão” é um método de descrever as propriedades dos elementos. Por exemplo, quando todos os animais pertencem ao conjunto \bm{X}, na notação por compreensão escrevemos “\bm{X}=\{a|a é um animal\}”. Aqui usamos o símbolo a, mas você pode usar qualquer símbolo e escrever “\{símbolo|condição usando o símbolo\}”, o que significa o conjunto de todas as coisas que satisfazem essa condição.
Você pode usar tanto a notação por extensão quanto a notação por compreensão, e aquela que pode ser expressa de forma mais concisa é usada.

1.3Subconjunto e Igualdade


A seguir, vamos explicar a relação entre conjuntos. Por exemplo, se “\bm{X}=\{CachorrosemicolonGatosemicolonCoelho\}” e “\bm{Y}=\{CachorrosemicolonGato\}”, todos os elementos de \bm{Y} são elementos de \bm{X}. Neste caso, dizemos que o conjunto \bm{Y} está “contido no” conjunto \bm{X} (ou é um subconjunto de \bm{X}) e escrevemos “\bm{Y}\subset\bm{X}”.
“Pertence a (\in)” e “Contido em (\subset)” parecem semelhantes em símbolo e significado, mas você precisa ter cuidado para não confundi-los. “Pertence a” é a relação entre um elemento e um conjunto, enquanto “Contido em” é a relação entre conjuntos.
Nota

Como quase tudo é tratado como conjunto na matemática moderna, geralmente os elementos de um conjunto também são conjuntos, então a distinção entre “pertence a” e “contido em” é complicada. “O conjunto Y pertence ao Conjunto X” significa que o Conjunto Y é um dos elementos do Conjunto X, enquanto “O conjunto Y está contido no Conjunto X” significa que todos os elementos do Conjunto Y aparecem nos elementos do Conjunto X.

Além disso, quando todos os elementos correspondem entre o conjunto \bm{X} e o conjunto \bm{Y}, dizemos que o conjunto \bm{X} e o conjunto \bm{Y} são “iguais” e escrevemos “\bm{X}=\bm{Y}”. Se eles não forem iguais, escrevemos “\bm{X}\neq\bm{Y}”. A ordem dos elementos em um conjunto não importa, e elementos duplicados são considerados como um só. Ou seja, se “\bm{X}=\{CachorrosemicolonGatosemicolonCoelho\}” e “\bm{Y}=\{CoelhosemicolonGatosemicolonCachorrosemicolonCachorrosemicolonCachorro\}”, então “\bm{X}=\bm{Y}” é verdadeiro.
Os símbolos “=” e “\neq” também são usados ao comparar elementos. Se o elemento a e o elemento b são a mesma coisa, escrevemos “a=b”, e se forem diferentes, escrevemos “a\neqb”.

1.4Conjuntos de conjuntos


Agora, também podemos considerar “um conjunto cujos elementos são conjuntos”. Por exemplo, um conjunto com “Cachorro” como elemento é “\{Cachorro\}”, mas um conjunto com este conjunto como elemento é “\{\{Cachorro\}\}”.
Por exemplo, se “Conjunto \bm{X}=\{\{Cachorro\}semicolon\{Gato\}\}”, “Conjunto \bm{Y}=\{\{Cachorro\}\}”, e “Conjunto \bm{Z}=\{Cachorro\}”, então “\bm{Y}\subset\bm{X}” e “\bm{Z}\in\bm{X}”. Por favor, preste atenção se é uma relação entre um elemento e um conjunto, ou uma relação entre conjuntos.

1.5União e Interseção


Na explicação das proposições na Lição 1, explicamos “ou (\lor)” e “e (\land)”, e os conjuntos têm coisas semelhantes. Para conjuntos, “ou” é representado pelo símbolo “\cup”, e “e” é representado pelo símbolo “\cap”. Para o conjunto \bm{X} e \bm{Y}, escrevemos como “\bm{X}\cup\bm{Y}” e “\bm{X}\cap\bm{Y}”.
Por exemplo, vamos definir o conjunto \bm{X} reunindo “coisas doces” como “\bm{X}=\{MelsemicolonAçúcarsemicolonToranja\}”, e o conjunto \bm{Y} reunindo “coisas azedas” como “\bm{Y}=\{VinagresemicolonLimãosemicolonToranja\}”. Neste caso, “coisas doces ou coisas azedas” torna-se “\bm{X}\cup\bm{Y}=\{MelsemicolonAçúcarsemicolonToranjasemicolonVinagresemicolonLimão\}”, e “coisas doces e coisas azedas” torna-se “\bm{X}\cap\bm{Y}=\{Toranja\}”.
Em outras palavras, “\cup” pode ser dito como algo que combina conjuntos, e “\cap” pode ser dito como algo que extrai a parte comum dos conjuntos.

1.6Conjunto vazio


Um conjunto sem elementos existe e é chamado de “Conjunto vazio”, representado pelo símbolo “\emptyset”. Por exemplo, quando não há elementos no conjunto \bm{X}, é “\bm{X}=\emptyset”. Este símbolo se assemelha à letra grega “\phi (fi)”, mas é um símbolo diferente.
“\emptyset” e “\{\emptyset\}” são conjuntos diferentes. “\emptyset” é um conjunto sem elementos, mas “\{\emptyset\}” é um conjunto que tem “\emptyset” como elemento.

2.Números Naturais

Agora, para provar “1+1=2”, vamos definir “Números Naturais” usando conjuntos.
“Números Naturais” são uma série de números continuando infinitamente como “0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon4semicolon\dots”. Incluir ou não “0” nos números naturais depende da escola de pensamento. Na matemática moderna, muitas vezes é incluído, mas no campo da teoria dos números, a ressalva “exceto 0” aparece frequentemente, então muitas vezes não é incluído. Desta vez, vamos incluí-lo.
Vamos definir o conjunto de todos os números naturais \mathbb{N}. Para a definição de \mathbb{N}, pode parecer suficiente dizer, por exemplo, “\mathbb{N}=\{0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon4semicolon\dots\}”. No entanto, isso depende da premissa de que sabemos que continua como “5semicolon6semicolon7semicolon\dots” a seguir, então não pode ser chamado de uma definição rigorosa. Portanto, desta vez, adoraremos o que é chamado de “Axiomas de Peano” como a definição de números naturais.
De acordo com os “Axiomas de Peano”, “Números Naturais” são coisas que satisfazem a seguinte estrutura.
Axiomas de Peano
  1. “0” é um número natural.
  2. Se “n” é um número natural, então o “sucessor de n” também é um número natural.
  3. Quando “n” e “m” são números naturais iguais, e somente então, o “sucessor de n” e o “sucessor de m” são números naturais iguais.
  4. Não há número natural cujo “sucessor” seja “0”.
  5. Apenas aquelas coisas determinadas pelo acima são números naturais.
Analisando, começando de “0”, conectando infinitamente como “o sucessor de 0 é 1”, “o sucessor de 1 é 2”, e não tendo ramificações ou loops é o que chamamos de “Números Naturais”. Ilustrando o conteúdo de (1) a (5) desta definição parece o seguinte.
Números Naturais
Números Naturais
(3) e (4) eliminam ramificações e loops, e (5) elimina sequências diferentes de “0semicolon1semicolon2semicolon\dots”. Desta figura, você pode ver que exclui outros casos para que os números naturais se tornem um caminho único como “0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon\dots”.
Agora, consideramos tudo o que satisfaz tal “estrutura” como números naturais. O ponto importante não é que “Números Naturais” existam concretamente, mas que quando algo concreto tem tal “estrutura”, nós o chamamos de número natural. Percebendo dessa maneira, podemos tratar várias coisas como números naturais.
Então, vamos construir números naturais usando apenas conjuntos. Como explicado no início, os conjuntos são os elementos básicos da matemática, então se pudermos construir a estrutura dos números naturais apenas com conjuntos, os números naturais também podem ser tratados como elementos da matemática.
Por exemplo, se representarmos 0 como o conjunto vazio “\emptyset”, e para um número n, representarmos o sucessor como “\{n\}”, podemos definir “0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon4semicolon\dots” como “\emptyset=0”, “\{\emptyset\}=1”, “\{\{\emptyset\}\}=2”, “\{\{\{\emptyset\}\}\}=3”, “\{\{\{\{\emptyset\}\}\}\}=4”. Isso satisfaz cada condição dos axiomas de Peano. Portanto, podemos dizer que este é um número natural.
Como outro exemplo, se representarmos 0 como o conjunto vazio “\emptyset”, e para um número n, representarmos o sucessor como “n\cup\{n\}”, vai como “\emptyset=0”, “\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}=\{0\}=1”, “\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptysetsemicolon\{\emptyset\}\}=\{0semicolon1\}=2”, “(omitido)=\{0semicolon1semicolon2\}=3”, “\{0semicolon1semicolon2semicolon3\}=4”. Isso também satisfaz os axiomas de Peano, então podemos dizer que este também é um número natural.
Desta forma, os números naturais podem ser construídos a partir de conjuntos de muitas maneiras. Especificamente qual método foi usado para construir números naturais não é importante, qualquer método serve desde que satisfaça os axiomas de Peano. Daqui em diante, representaremos os números naturais construídos desta maneira como o conjunto “\mathbb{N}=\{0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon4semicolon\dots\}”.

3.Teoria axiomática dos conjuntos

3.1O Paradoxo de Russell


Até agora, prosseguimos com a conversa de forma um tanto intuitiva, mas a lógica estrita revela que lidar com conjuntos intuitivamente assim colapsa. Um exemplo disso é o “Paradoxo de Russell”. O Paradoxo de Russell é o seguinte.
Primeiro, considere o conjunto “Palavras” reunindo tudo o que é uma palavra. Neste caso, “Palavras” em si também é uma palavra, então pertence a este conjunto. Ou seja, torna-se como “Palavras =\{CachorrosemicolonMaçãsemicolonPalavrassemicolon\dots\}”.
Em seguida, considere o conjunto “Emojis” reunindo tudo o que é um emoji. Neste caso, “Emojis” em si não é um emoji, então não pertence a este conjunto. Ou seja, torna-se como “Emojis =\{🙂semicolon⭐️semicolon👻semicolon\dots\}”.
Pensando dessa maneira, os conjuntos podem ser divididos em dois tipos: aqueles como “Palavras” onde “o conjunto em si pertence ao conjunto”, e aqueles como “Emojis” onde “o conjunto em si não pertence ao conjunto”.
Aqui, vamos considerar o conjunto reunindo todos os “conjuntos que não pertencem a si mesmos”. Como “Emojis” era um “conjunto que não pertence a si mesmo”, torna-se “Conjunto de conjuntos que não pertencem a si mesmos =\{Emojissemicolon\dots\}”. Agora, este conjunto pertence a si mesmo? Ou seja, torna-se “Conjunto de conjuntos que não pertencem a si mesmos =\{EmojissemicolonConjunto de conjuntos que não pertencem a si mesmossemicolon\dots\}”?
Se assumirmos que ele pertence a si mesmo, é um “conjunto que não pertence a si mesmo” mas pertence, então é uma contradição. Além disso, se assumirmos que ele não pertence a si mesmo, ele satisfaz a condição “conjunto que não pertence a si mesmo”, então deveria pertencer a este conjunto, o que também é uma contradição.
Como explicado na Lição 1, uma proposição deve ser verdadeira ou falsa, portanto, tal pergunta não pode ser uma proposição. Em outras palavras, se admitirmos um conjunto como “o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos”, isso leva a um colapso lógico.

3.2Teoria axiomática dos conjuntos


Portanto, surgiu um movimento para definir conjuntos não por definições intuitivas como “uma coleção de coisas”, mas por “axiomas” que determinam rigorosamente o que é um conjunto. Isso é chamado de “Teoria axiomática dos conjuntos”. A intuitiva é chamada de “Teoria ingênua dos conjuntos”.

4.Axiomas da Adição

Agora, finalmente, vamos provar “1+1=2”. Aos números naturais definidos até agora, adicionamos os seguintes axiomas.
Axiomas da Adição

Quando a,b são números naturais,

  1. a+0=a
  2. a+b'=(a+b)'

No entanto, para um número natural n, “n'” representa “o sucessor de n”.

Isso é chamado de “Axiomas da Adição”. Usando este axioma, podemos provar “1+1=2”. É como segue.
Prova de 1+1=2
  • Daqui em diante, transformamos “1+1” em “2”.
  • Da definição de números naturais, 1+1=1+0'. (Definimos “0′”, ou seja, o sucessor de 0, como 1 na definição de números naturais.)
  • Do Axioma da Adição 2, uma vez que a+b'=(a+b)', 1+0'=(1+0)'.
  • Do Axioma da Adição 1, uma vez que a+0=a, (1+0)'=(1)'.
  • Uma vez que o sucessor de 1 é 2, (1)'=2.
  • Portanto, 1+1=2. (Fim da Prova)
Apenas aplicando mecanicamente os axiomas da adição, “2” é derivado de “1+1”. Da mesma forma, você pode verificar que “1+2=3”, “128+256=384”, etc. podem ser provados, então por favor tente.
Desta vez, definimos números naturais usando conjuntos e provamos “1+1=2” usando os axiomas da adição. Na próxima vez, falaremos sobre vários números, incluindo “inteiros”, que incluem números negativos nos números naturais!
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